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全国高中数学竞赛专题-三角函数
三角恒等式与三角不等式
一、基础知识
定义1
角：一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。角的大小是任意的。
若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。
定义2
角度制：把一周角360等分，每一等分为一度。
弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。
若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|α|=
r
L,其中r
是圆的半径。
定义3
三角函数：在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x
轴的正半轴重合，在角的终边上任意取
一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦函数s
in
α=r
y,余弦函数co
s
α=r
x,正切函数tan
α=
x
y，余切函数cot
α=y
x，正割函数se
c
α=x
r,余割函数c
s
c
α=.y
r
定理1
同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan
α=αcot
1,s
in
α=αcsc
1，co
s
α=αsec
1；
商数关系：tan
α=α
α
αααsin
cos
cot,cos
sin
=；
乘积关系：tan
α×co
s
α=s
in
α,cot
α×s
in
α=co
s
α；
平方关系：s
in
2α+co
s
2α=1,tan
2α+1=se
c
2α,cot
2α+1=c
s
c
2α.定理2
诱导公式（Ⅰ）s
in
(α+π)=-s
in
α,co
s(π+α)=-co
s
α,tan
(π+α)=tan
α,cot
(π+α)=cot
α;
（Ⅱ）s
in
(-α)=-s
in
α,co
s(-α)=co
s
α,tan
(-α)=-tan
α,cot
(-α)=cot
α;
（Ⅲ）s
in
(π-α)=s
in
α,co
s(π-α)=-co
s
α,tan
=(π-α)=-tan
α,cot
(π-α)=-cot
α;
（Ⅳ）s
in
???
??-απ2=co
s
α,co
s
???
??-απ2=s
in
α,tan
???
??-απ2=cot
α（奇变偶不变，符号看象限）。
定理3
正弦函数的性质，根据图象可得y
=s
inx
（x
∈R）的性质如下。
单调区间：在区间??
?
??
?+
22,2
2πππ
πk
k
上为增函数，在区间??
?
??
?++
πππ
π232,22k
k
上为减函数，最小正周期：2π.奇偶性：奇函数
有界性：当且仅当x
=2kx
+2π时，y
取最大值1，当且仅当x
=3k
π-2
π
时,y
取最小值-1，值域为[-1，1]。
对称性：直线x
=k
π+
π
均为其对称轴，点（k
π,0）均为其对称中心。这里k
∈Z
.定理4
余弦函数的性质，根据图象可得y
=co
s
x
(x
∈R)的性质。
单调区间：在区间[2k
π,2k
π+π]上单调递减，在区间[2k
π-π,2k
π]上单调递增。
最小正周期：2π。
奇偶性：偶函数。
有界性：当且仅当x
=2k
π时，y
取最大值1；当且仅当x
=2k
π-π时，y
取最小值-1。值域为[-1，1]。
对称性：直线x
=k
π均为其对称轴，点??
?
?
?+
0,2π
πk
均为其对称中心。这里k
∈Z
.定理5
正切函数的性质：由图象知奇函数y
=tanx
(x
≠k
π+
2π)在开区间(k
π-2π,k
π+2
π)上为增函数,最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（k
π，0），（k
π+2
π，0）均为其对称中心。
定理6
两角和与差的基本关系式：co
s(α±β)=co
s
αco
s
β
s
in
αs
in
β,s
in
(α±β)=s
in
αco
s
β±co
s
αs
in
β;
tan
(α±β)=
.)
tan
tan
1()
tan
(tan
βαβα
±
两角和与差的变式：2222
sin
sin
cos
cos
sin()sin()αββααβαβ-=-=+-
2222
cos
sin
cos
sin
cos()cos()αββααβαβ-=-=+-
三角和的正切公式：tan
tan
tan
tan
tan
tan
tan()1tan
tan
tan
tan
tan
tan
αβγαβγ
αβγαββγγα
++-++=
---
定理7
和差化积与积化和差公式:
s
in
α+s
in
β=2s
in
???
??+2βαco
s
???
??-2βα,s
in
α-s
in
β=2s
in
???
??+2βαco
s
???
??-2βα,co
s
α+co
s
β=2co
s
???
??+2βαco
s
???
??-2βα,co
s
α-co
s
β=-2s
in
???
??+2βαs
in
???
??-2βα,s
in
αco
s
β=21[s
in
(α+β)+s
in
(α-β)],co
s
αs
in
β=21
[s
in
(α+β)-s
in
(α-β)],co
s
αco
s
β=21[co
s(α+β)+co
s(α-β)],s
in
αs
in
β=-2
[co
s(α+β)-co
s(α-β)].定理8
二倍角公式：s
in
2α=2s
in
αco
s
α,co
s2α=co
s
2α-s
in
2α=2co
s
2α-1=1-2s
in
2α,tan
2α=
.)
tan
1(tan
22αα
三倍角公式及变式：3
sin
33sin
4sin
ααα=-，3
cos34cos
3cos
ααα=-
1s
i
n
(60)s
i
n
s
i
n
(60)s
i
n
34α
ααα-+=，1
cos(60)cos
cos(60)cos34
αααα-+=
定理9
半角公式:
s
in
2α=2)cos
1(α-±,co
s
α
=2)cos
1(α+±,tan
2α=)cos
1()
cos
1(αα+-±=
.sin)cos
1()
cos
1(sin
αααα-=+
定理10
万能公式:
?
?
?
??+?
??
??=
2tan
12tan
2sin
2ααα,???
??+???
??-=2tan
12tan
1cos
22ααα,.2tan
12tan
2tan
2???
??-???
??=ααα
定理11
辅助角公式：如果a,b
是实数且a
2+b
2≠0，则取始边在x
轴正半轴，终边经过点(a,b)的一个角为β，则s
in
β=22b
a
b
+,co
s
β=2
2b
a
a
+，对任意的角α.a
s
in
α+bco
s
α=)(22b
a
+s
in
(α+β).定理12
正弦定理：在任意△ABC
中有R
C
c
B
b
A
a
2sin
sin
sin
===，其中a,b,c
分别是角A，B，C的对边，R
为△ABC
外接圆半径。
定理13
余弦定理：在任意△ABC
中有a
2=b
2+c
2-2bco
s
A，其中a,b,c
分别是角A，B，C的对边。
定理14
射影定理：在任意△ABC
中有cos
cos
a
b
C
c
B
=+，cos
cos
b
a
C
c
A
=+，cos
cos
c
a
B
b
A
=+
定理15
欧拉定理：在任意△ABC
中，2
2OI
R
Rr
=-，其中O,I
分别为△ABC的外心和内心。
定理16
面积公式：在任意△ABC
中，外接圆半径为R,内切圆半径为r，半周长2
a
b
c
p
++=
则211sin
2sin
sin
sin
(sin
sin
sin)224a
abc
S
ah
ab
C
rp
R
A
B
C
rR
A
B
C
R
=
=====++
222
1)(c
o
t
c
o
t
c
o
t)4
c
a
A
b
B
c
C
==++
定理17
与△ABC
三个内角有关的公式：
（1）sin
sin
sin
4cos
cos
cos
;222
A
B
C
A
B
C
++=
（2）cos
cos
cos
14sin
sin
sin
;222
A
B
C
A
B
C
++=+
（3）tan
tan
tan
tan
tan
tan
;A
B
C
A
B
C
++=
（4）tan
tan
tan
tan
tan
tan
1;222222
A
B
B
C
C
A
++=
（5）cot
cot
cot
cot
cot
cot
1;A
B
B
C
C
A
++=
（6）sin
2sin
2sin
24sin
sin
sin
.A
B
C
A
B
C
++=
定理18
图象之间的关系：y
=s
inx的图象经上下平移得y
=s
inx
+k的图象；经左右平移得y
=s
in
(x
+?)的图象（相位
变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的ω
1，得到y
=s
in
x
ω(0>ω)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A
倍，得到y
=A
s
inx的图象（振幅变换）；y
=A
s
in
(ωx
+?)(ω>0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A
倍，得到y
=A
s
inx的图象（振幅变换）；y
=A
s
in
(ωx
+?)(ω,?>0)(|A
|
叫作振幅)的图象向右平移ω
?
个单位得到y
=A
s
in
ωx的图象。
定义4
函数y
=s
inx
?
?
???-∈2,2ππx的反函数叫反正弦函数，记作y
=a
r
c
s
inx
(x
∈[-1,1])，函数y
=co
s
x
(x
∈[0,π])的反函数叫反余弦函数，记作y
=a
r
cco
s
x
(x
∈[-1,1]).函数y
=tanx
?
??
?
?-
∈2,2ππx的反函数叫反正切函数。记作y
=a
r
ctanx
(x
∈[-∞,+∞]).函数y
=co
t
x
(x
∈[0,π])的反函数称为反余切函数，记作y
=a
r
ccotx
(x
∈[-∞,+∞]).定理19
三角方程的解集，如果a
∈(-1,1)，方程s
inx
=a的解集是{x
|x
=n
π+(-1)n
a
r
c
s
ina,n
∈Z
}。
方程co
s
x
=a的解集是{x
|x
=2kx
±a
r
cco
s
a,k
∈Z
}.如果a
∈R，方程tanx
=a的解集是{x
|x
=k
π+a
r
ctana,k
∈Z
}。
恒等式：a
r
c
s
ina
+a
r
cco
s
a
=
2π；a
r
ctana
+a
r
ccota
=2
π.定理20
若干有用的不等式：
（1）若???
?
?∈2,0πx，则s
inx
（2）函数sin
x
y
x
=在(0,)π上为减函数；函数tan
x
y
x
=在(0,)2
π
上为增函数。
（3）嵌入不等式：设A+B+C=π，则对任意的x,y,z
∈R，有2
2cos
2cos
2cos
x
y
z
yz
A
xz
B
xy
C
++≥++
等号成立当且仅当yzsinA=zxsinB=xysinC.二、方法与例题
1．结合图象解题。
例1
求方程s
inx
=lg
|x
|的解的个数。
【解】在同一坐标系内画出函数y
=s
inx
与y
=lg
|x
|的图象，由图象可知两者有6个交点，故方程有6个解。
2．三角函数性质的应用。
例2
设x
∈(0,π),试比较co
s(s
inx)与s
in
(co
s
x)的大小。
【解】
若??
?
?
??∈ππ,2x，则-1所以s
in
(co
s
x)
≤0,又02x
π?
?
∈
??
?，则因为s
inx
+co
s
x
=2s
in
(x
+
4π)≤2π，所以co
s(s
inx)>co
s（2
π
-co
s
x)=s
in
(co
s
x).综上，当x
∈(0,π)时，总有co
s(s
inx)3．最小正周期的确定。
例3
求函数y
=s
in
(2co
s|x
|)的最小正周期。
【解】
因为co
s(-x)=co
s
x，所以cos
|x
|=co
s
x,所以T
=2π是函数的周期；
4．三角最值问题。
例4
已知函数y
=s
inx
+x
2cos
1+，求函数的最大值与最小值。
【解法一】
令s
inx
=???
??≤≤=
+ππ
θθ4304
sin
2cos
1,cos
x,则有y
=).4
sin(2sin
2cos
2π
θθθ+
=+
因为
ππ
4304≤≤，所以ππθπ≤+≤42，所以)4
sin(0π
θ+≤≤1，所以当πθ43=，即x
=2k
π-2π(k
∈Z)时，y
m
in
=0，当4πθ=，即x
=2k
π+2
π
(k
∈Z)时，y
m
ax
=2.【解法二】
因为y
=s
inx
+)cos
1(sin
2cos
1222
x
x
x
++≤
+=2（因为(a
+b)2≤2(a
2+b
2)），且|s
inx|≤1≤x
2cos
1+，所以0≤s
inx
+x
2cos
1+≤2，所以当x
2cos
1+=s
inx，即x
=2k
π+2
π
(k
∈Z)时,y
m
ax
=2，当x
2cos
1+=-s
inx，即x
=2k
π-2
π
(k
∈Z)时,y
m
in
=0。
5．换元法的使用。
例5
求x
x
x
x
y
cos
sin
1cos
sin
++=的值域。
【解】
设t
=s
inx
+co
s
x
=).4sin(2cos
22sin
222π+=???
?
??+x
x
x
因为,1)4
sin(1≤+
≤-π
x
所以.22≤≤-t
又因为t
=1+2s
inxco
s
x,所以s
inxco
s
x
=212-t，所以2
1121
2-=+-=t
t
x
y，所以
.212212-≤≤--y
因为t
≠-1，所以121-≠-t，所以y
≠-1.所以函数值域为.212,11,212??
?
??--???-+-∈
y
6．图象变换：y
=s
inx
(x
∈R)与y
=A
s
in
(ωx
+?)(A,ω,?>0).例6
已知f
(x)=s
in
(ωx
+?)(ω>0,0≤?≤π)是R
上的偶函数，其图象关于点???
??0,43πM
对称，且在区间??
?
???2,0π上是单调函数，求?和ω的值。
【解】
由f
(x)是偶函数，所以f
(-x)=f
(x)，所以s
in
(ωx+?)=s
in
(-ωx
+?)，所以co
s
?s
inx
=0，对任意x
∈R
成立。又0≤?≤π，解得?=2
π，因为f
(x)图象关于??
?
??0,43πM
对称，所以)43()43(x
f
x
f
++-ππ=0。
取x
=0，得)4
3(πf
=0，所以sin
.024
3=???
??+πωπ
所以243ππωπ+=k
(k
∈Z)，即ω=32(2k
+1)
(k
∈Z).又ω>0，取k
=0时，此时f
(x)=sin
(2x
+
2π)在[0，2
π
]上是减函数；
取k
=1时，ω=2，此时f
(x)=sin
(2x
+2π)在[0，2
π
]上是减函数；
取k
=2时，ω≥310，此时f
(x)=sin
(ωx
+2π)在[0，2
π
]上不是单调函数，综上，ω=3
或2。
7．三角公式的应用。
例7
已知sin
(α-β)=
135，sin
(α+β)=-
135，且α-β∈???
??ππ,2，α+β∈??
?
??ππ2,23，求sin
2α,cos
2β的值。
【解】
因为α-β∈??
?
??ππ,2，所以cos
(α-β)=-.1312)(sin
-=--βα
又因为α+β∈??
?
??ππ2,23，所以cos
(α+β)=.1312)(sin
12=+-βα
所以sin
2α=sin
[(α+β)+(α-β)]=sin
(α+β)cos
(α-β)+cos
(α+β)sin
(α-β)=169
120,cos
2β=cos
[(α+β)-(α-β)]=cos
(α+β)cos
(α-β)+sin
(α+β)sin
(α-β)=-1.例8
已知△ABC的三个内角A，B，C
成等差数列，且B
C
A
cos
2cos
1cos
1-=+，试求2
cos
C
A
-的值。
【解】
因为A
=1200-C，所以cos
C
A
-=cos
(600-C)，又由于)
120cos(cos
cos)120cos(cos
1)120cos(1cos
1cos
00C
C
C
C
C
C
C
A
-+-=+-=+
=
222
1)2120cos()
60cos(2)]2120cos(120[cos
21)60cos(60cos
2000000-=---=-+-C
C
C
C，所以232
cos
22cos
242--+-C
A
C
A
=0。解得222cos
=-C
A
或8232cos
-=-C
A。
又2
cos
C
A
->0，所以222cos
=-C
A。
例9
求证：tan
20?+4cos
70?
【解】
tan
20?+4cos
70?=??20cos
20sin
+4sin
20?
?
??+=+=20cos
40sin
220sin
20cos
20cos
20sin
420sin
?
???+=++=20
cos
40sin
10cos
30sin
220cos
40sin
40sin
20sin
.320cos
20cos
60sin
220cos
40sin
80sin
==+=?
?
例10
证明：7
cos77cos521cos335cos
64cos
x
x
x
x
x
+++=
分析：等号左边涉及角7x、5x、3x、x
右边仅涉及角x，可将左边各项逐步转化为x
sin、x
cos的表达式，但相对较繁.观察到右边的次数较高，可尝试降次.证明：因为,cos
33cos
cos
4,cos
3cos
43cos
x
x
x
x
x
x
+=-=所以
从而有x
x
x
x
x
226cos
9cos
3cos
63cos
cos
16++=
=)2cos
1(2
9)2cos
4(cos
326cos
1x
x
x
x
+++++
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
cos
20cos
2cos
30cos
4cos
12cos
6cos
2cos
64,2cos
992cos
64cos
66cos
1cos
327
6+++=+++++=
.cos
353cos
215cos
77cos
cos
20cos
153cos
153cos
65cos
65cos
7cos
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+++=++++++=
评述：本题看似“化简为繁”，实质上抓住了降次这一关键，很是简捷.另本题也可利用复数求解.令
77)1
(cos
128，1cos
2,sin
cos
z
z
z
z
i
z
+=+=+=αααα从而则，展开即可.例11
已知.20012tan
2sec
:,2001tan
1tan
1=+=-+αααα求证
证明：)4tan()22
sin()22cos(12cos
2sin
12tan
2sec
απαπαπ
αααα+=++-=+=+.2001tan
1tan
1=-+=αα.2001tan
1tan
1=-+=
αα
例12
证明：对任一自然数n
及任意实数m
n
k
m
x
k，,2,1,0(2
=≠
π为任一整数），有
.2cot
cot
2sin
14sin
12sin
1x
x
x
x
x
n
n
-=+++
思路分析：本题左边为n
项的和，右边为2项之差，故尝试将左边各项“裂”成两项之差，并希冀能消去其中许多
中间项.证明：,2cot
cot
2sin
2cos
cos
sin
2cos
22sin
2cos
cos
22sin
122x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
-=-=-=
同理
x
x
x
4cot
2cot
4sin
1-=
……
x
x
x
n
n
n
2cot
2cot
2sin
11-=-
评述：①本题裂项技巧也可通过数学归纳法获得.②“裂项相消”在解题中具有一定的普遍性，类似可证下列各题：
n
n
n
n
-=
-+++α
α
ααααααtan
tan
tan)1tan(3tan
2tan
2tan
tan
.1cot
1cos
cos
88cos
12cos
1cos
11cos
0cos
1.2cot
2cot
2tan
22tan
22tan
2tan
1122=+++-=++++++ααααααn
n
n
n
例13
设ABC
?的内角A
B
C，所对的边，a
b
c
成等比数列，则
sin
cot
cos
sin
cot
cos
A
C
A
B
C
B
++的取值范围是（）
A.(0,)+∞
B.C.D.)+∞
[解]
设，a
b
c的公比为q，则2,b
aq
c
aq
==，而sin
cot
cos
sin
cos
cos
sin
sin
cot
cos
sin
cos
cos
sin
A
C
A
A
C
A
C
B
C
B
B
C
B
C
++=
++
sin()sin()sin
sin()sin()sin
A
C
B
B
b
q
B
C
A
A
a
ππ+-=
====+-．
因此，只需求q的取值范围．
因，a
b
c
成等比数列，最大边只能是a
或c，因此，a
b
c
要构成三角形的三边，必需且只需a
b
c
+>且
b
c
a
+>．即有不等式组
22,a
aq
aq
aq
aq
a
?+>??+>??即22
10,10.q
q
q
q
?--解得q
q
q
q，因此所求的取值范围是．故选C
例14
△ABC
内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于A1、B1、C
1，则C
B
A
C
CC
B
BB
A
AA
sin
sin
sin
2cos
2cos
2cos
111++?+?+?的值为（）
A
．2
B
．4
C
．6
D
．8
解：如图，连BA
1，则AA
1=2sin(B+)2
2cos(2)222sin(2)2C
B
C
B
C
B
A
A
-=-+++=)2
cos(2cos
2cos
2cos)22cos(22cos
1C
B
C
A
C
B
A
A
C
B
A
AA
-=-++-+=-=∴π,sin
sin)2cos(B
C
B
+=-+π
同理,sin
sin
2cos
1C
A
B
BB
+=,sin
sin
cos
1B
A
C
CC
+=),sin
sin
(sin
22cos
2cos
2cos
111C
B
A
C
CC
B
BB
A
AA
++=++∴原式=.2sin
sin
sin)
sin
sin
(sin
2=++++C
B
A
C
B
A
选A.例15
若对所有实数x，均有sin
sin
cos
cos
cos
2k
k
k
x
kx
x
kx
x
?+?=，则k
=（）.A、6；
B、5；
C、4；
D、3．
解：记()s
i
n
s
i
n
c
o
s
c
o
s
c
o
s
k
k
k
f
x
x
k
x
x
k
x
x
=?+?
-，则由条件，()f
x
恒为0，取2
x
π
=，得
()s
i
n
12k
k
π=-，则k
为奇数，设21k
n
=-，上式成为sin
12n
ππ?
?-=-
???，因此n
为偶数，令2n
m
=，则
41k
m
=-，故选择支中只有3k
=满足题意．故选D
例16
已知()()
2222212f
x
x
a
b
x
a
ab
b
=++-++-是偶函数，则函数图象与y
轴交点的纵坐标的最大值是
A
B.2
C.解：由已知条件可知，2
10a
b
+-=，函数图象与y
轴交点的纵坐标为2
2a
ab
b
+-。令,s
cos
in
b
a
θθ==，则2222
2sin
cos
sin
cos
2sin
2c
s
2o
a
ab
b
θθθθθθ+=+=--+≤
选
A。
例17
已知,R
αβ∈，直线
1sin
sin
sin
cos
x
y
αβαβ+=++与1cos
sin
cos
cos
x
y
αβαβ
+=++的交点在直线y
x
=-上，则cos
sin
c
in
s
s
o
ααββ+++=。
解：由已知可知，可设两直线的交点为00(,)x
x
-，且,in
s
s
co
αα为方程
00
1sin
cos
x
x
t
t
ββ
-+=++，的两个根，即为方程2
0sin
c
(cos)sin
os
(cos)i
0s
n
t
t
x
ββββββ-++-=+的两个根。
因此cos
(sin
sin
cos)ααββ+=-+，即cos
sin
c
in
s
s
o
ααββ+++=0。
1、＝。
2、已知函数)45
41(2)cos()sin()(≤≤+-=
x
x
πx
πx
x
f，则f
(x)的最小值为_____。
3、已知
3sin)2sin(=+αβα，且),(2,21Z
k
n
n
k
∈+≠+≠π
πβαπβ。则
ββαtan)tan(+的值是_
__.4、设函数f
(x)=3sin
x
+2cos
x
+1。若实数a、b、c
使得af
(x)+bf
(x
?c)=1对任意实数x
恒成立，则a
c
b
cos
=
5、设0)cos
1(2
θθ
+的最大值。
6、求证：.112tan
312tan
18tan
18tan
3=++
7、已知a
0=1,a
n
n
-(n
∈N
+)，求证：a
n
2+n
π
.8、已知.cos
sin)tan(:,1||),sin(sin
A
A
A
-=+>+=ββ
βαβαα求证
9、若A，B，C
为△ABC
三个内角，试求s
inA
+s
inB
+s
inC的最大值。
10、证明：.2
sin
21sin)2sin()sin()2sin()sin(sin
β
ββαβαβαβαα++
=
+++++++n
n
n11、已知α，β为锐角，且x
·（α+β-2π）>0，求证：.2sin
cos
sin
cos
?
??+?
??x
x
αββα
12、求证：①16
78cos
66cos
42cos
6cos
=
②sin1°sin2°sin3°…sin89°=.10641(45?
全国高中数学竞赛专题-三角恒等式与三角不等式
实战演练答案
1、解：根据题意要求，2
605x
x
+≥+，2
0571x
x
+≤+≤。于是有2
715x
x
+=+。因此
cos01==。因此答案为
1。
2、解：实际上)4541(2)4sin(2)(≤≤+-=x
x
π
πx
x
f，设)4541)(4sin(2)(≤≤-=x
ππx
x
g，则g
(x)≥0，g
(x)在]43,41[上是增函数，在]4
5,43[上是减函数，且y
=g
(x)的图像关于直线43=x
对称，则对任意]43,41[1∈x，存在]45,43[2∈x，使g
(x
2)=g
(x
1)。于是)(2)(2)(2)()(22
212111x
f
x
x
g
x
x
g
x
x
g
x
f
=+≥+=+=，而f
(x)在]45,43[上是减
函数，所以554)4
()(=
≥f
x
f，即f
(x)在]4
5,41[上的最小值是554。
3、解：
.213131sin)2sin(1sin)2sin(]sin)2[sin(21]
sin)2[sin(21
sin)cos(cos)sin(tan)tan(=-+=-+++=-+++=?+?+=+α
βααβααβααβαβββαββαb
a4、解：令c=π，则对任意的x
∈R，都有f
(x)+f
(x
?c)=2，于是取2
==b
a，c=π，则对任意的x
∈R，af
(x)+bf
(x
?c)=1，由此得1cos
-=a
c
b。
一般地，由题设可得1)sin(13)(++=?x
x
f，1)sin(13)(+-+=-c
x
c
x
f
?，其中20π2
tan
=?，于是af
(x)+bf
(x
?c)=1可化为1)sin(13)sin(13=++-+++b
a
c
x
b
x
a
??，即
0)1()cos(sin
13cos)sin(13)sin(13=-+++-+++b
a
x
c
b
c
x
b
x
a
???，所以0)1()cos(sin
13)sin()cos
(13=-+++-++b
a
x
c
b
x
c
b
a
??。
由已知条件，上式对任意x
∈R
恒成立，故必有??
?
??=-+==+)3(01)2(0
sin)1(0cos
b
a
c
b
c
b
a，若b
=0，则由(1)知a
=0，显然不满足(3)式，故b
≠0。所以，由(2)知sin
c
=0，故c=2k
π+π或c=2k
π(k
∈Z)。当
c=2k
π时，cos
c
=1，则(1)、(3)两式矛盾。故c=2k
π+π(k
∈Z)，cos
c
=?1。由(1)、(3)知21
=
=b
a，所以1cos
-=a
c
b。
5、【解】因为020π
θ，所以s
in
2θ>0,co
s
θ>0.所以s
in
2θ（1+co
s
θ）=2s
in
2θ·co
s
θ
=2cos
2cos
2sin
22222θθ
θ???
≤3
22232cos
2cos
2sin
22??
???
?
?θθθ=.9342716=
当且仅当2s
in
2θ=co
s
22θ,即tan
2θ=22,θ=2a
r
ctan
22时，s
in
θ
(1+co
s
θ)取得最大值934。
6、思路分析：等式左边同时出现
12tan
18tan、12tan
18tan
+，联想到公式β
αβ
αβαtan
tan
1tan
tan)tan(-+=+.证明：
12tan
312tan
18tan
18tan
3++
112tan
18tan)12tan
18tan
1)(1218tan(312tan
18tan)12tan
18(tan
3=+-+?=++=
112tan
18tan)12tan
18tan
1)(1218tan(312tan
18tan)12tan
18(tan
3=+-+?=++=
18tan(3
t
18(tan
3=+?=+=
评述：本题方法具有一定的普遍性.仿此可证)43tan
1()2tan
1)(1tan
1（+++22
2)44tan
1(=+
等.7、【证明】
由题设知a
n
>0，令a
n
=tana
n,a
n
∈??
?
??2,0π，则a
n
=
.tan
2tan
sin
cos
1tan
1sec
tan
1tan
1111
12n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
==-=-=
-+-------
因为21-n
a，a
n
∈???
??2,0π，所以a
n
=121-n
a，所以a
n
=.210a
n
??
?
??
又因为a
0=tana
1=1，所以a
0=4π，所以n
n
a
??
?
??=21·4π。
又因为当0时，tanx
>x，所以.2
2tan
22++>=n
n
n
a
ππ
注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。另外当x
∈??
?
??2,0π时，有tanx
>x
>s
inx，这是个熟知的结论，暂时不证明，学完导数后，证明是很容易的。
8、分析：条件涉及到角α、βα+，而结论涉及到角βα+，β.故可利用αβαβββαα-+=-+=)()(或消除条件与结论间角的差异，当然亦可从式中的“A
”入手.证法1：),sin(sin
βαα+=A),sin()sin(βαββα+=-+∴A),cos(sin))(cos
sin(),sin(sin)cos(cos)sin(βαβββαβαββαββα+=-++=+-+A
A
cos
sin)tan(,0)cos(,0cos,1||A
A
A
-=+≠+≠-∴>βββαβαβ从而
cos
sin)tan(,0)cos(,0cos,1||A
A
A
-=+≠+≠-∴>βββαβαβ从而
cos
sin)tan(,0)cos(,0cos,1||A
A
A
-=+≠+≠-∴>βββαβαβ从而
.cos
sin)tan(,0)cos(,0cos,1||A
A
A
-=+≠+≠-∴>βββαβαβ从而
证法2：αβαβββαβααββββsin)sin(cos
sin)sin()sin(sin
cos
sin
sin
sin
-++=+-=-A).tan(sin)cos(sin)sin(])sin[()sin(cos
sin)sin(βαββαββαββαβαβββα+=++=-+-++=).tan(sin)cos(sin)sin(])sin[()sin(cos
sin)sin(βαββαβ
βαββαβαβββα+=++=-+-++=).tan(sin)cos(sin)sin(])sin[()sin(cos
sin)sin(βαββαββαββαβαβββα+=++=-+-++=
9、【解】
因为s
inA
+s
inB
=2s
in
2B
A
+co
s
2sin
22B
A
B
A
+≤-,①
s
inC
+s
in
3sin
3cos
3sin
π
π
π
π
+≤-+=C
C
C,②
又因为3
sin
3cos
43sin
3sin
sin
ππ
π
π
≤-
-++
++=+++C
B
A
C
B
A
C
B
A，③
由①，②，③得s
inA
+s
inB
+s
inC
+s
in
3π≤4s
in
π,所以s
inA
+s
inB
+s
inC
≤3s
in
3π=233,当A
=B
=C
=3
π
时，（s
inA
+s
inB
+s
inC）m
ax
=233.注：三角函数的有界性、|s
inx
|≤1、|co
s
x
|≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调
性等是解三角最值的常用手段。
10、证明：)],2
cos()2[cos(212sin
sin
βαβαβ
α--+-=)]sin()2sin()sin([sin
sin，)]2
2cos()212[cos(212sin)sin(,)]2
cos()25[cos(212sin)2sin()],2cos()23[cos(212sin)sin(βαβαβααβ
βαβαββαβαβαββαβ
αβαβ
βαn
n
n
n
+++++++-+-++-=++-+-=++-+-=+
各项相加得类似地
.2
sin)2sin()]2cos()212[cos(21ββαβαβα++=--++-=n
n
n
.2
1sin)2sin()]
2cos()212[cos(21ββαβαβα++=--+
+-=n
n
n
所以，.2
sin
sin)2sin()sin()sin(sin
βββαβαβαα++=+++++n
n
n
评述：①类似地，有.2
sin)2cos(21sin)cos()cos(cos
β
βαββαβααn
n
n
++=
+++++
②利用上述公式可快速证明下列各式：2sin
cos
2sin
cos
3cos
2cos
cos
θ
θθθθθθ+=++++n
n
n
.21
97cos
95cos
93cos
9cos
.2
75cos
73cos
9cos
等=+++=++ππ
πππππ.2197cos
95cos
93cos
9cos
.2
175cos
73cos
cos
等=+++=++πππππππ
11、【证明】
若α+β>2π，则x
>0，由α>2π-β>0得co
s
απ-β)=s
in
β,所以0又s
in
α>s
in
(2π-β)=co
s
β,所以0β
sin
cos
0,所以βαsin
cos
>1。
又0β
sin
cos
>1，所以2sin
cos
sin
cos
sin
cos
sin
cos
0
=???
?
?+?
??x，得证。
注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。
12、证明：①cos6°cos42°cos66°cos78°=cos6°cos54°cos66°
54cos
78cos
42cos
?
.16154cos
4)183cos(4154cos
478cos
42cos
18cos
=?==
.16154cos
4)183cos(4154cos
478cos
42cos
18cos
=?==
.16
154cos
4)
183cos(4154cos
478cos
42cos
18cos
=?=
=
②sin1°sin2°sin3°…sin89°
=(sin1°sin59°sin61°)(sin2°sin58°sin62°)…(sin29°sin31°sin89°)sin30°sin60°
=4
387sin
6sin
3sin)41(29?
60sin
30sin)87sin
33sin
27(sin)66sin
54sin
6)(sin
63sin
57sin
3(sin
3)4
(30=
45)54sin
36)(sin
63sin
27)(sin
72sin
18)(sin
18sin
9(sin
3)41(81sin
18sin
9sin
3)41(4040???=??=
45sin)54sin
36)(sin
63sin
27)(sin
72sin
18)(sin
18sin
9(sin
3)41(81
sin
18sin
9sin
3)41(4040???=??=
又)72cos
1)(36cos
1(41)36sin
18(cos
-+=
165)72cos
36cos
1(4
1)72cos
36cos
72cos
36cos
1(41=+=--+=
165)72cos
36cos
1(4
1)72cos
36cos
72cos
36cos
1(41=+=--+=
165)72cos
36cos
1(4136cos
72cos
36cos
1(41=+=--+=
即
.45
36sin
18cos
=
所以
.106)4
(89sin
2sin
1sin
45?=
36sin
18cos
3)41(54cos
72sin
223)41(54cos
18sin
36cos
18cos
223)41(54cos
72cos
36cos
18cos
223)41(18cos
36cos
54cos
72cos
223)41(72sin
54sin
36sin
18sin
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