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微积分II真题含答案
一、填空题（每题3分，共30分）
1、函数的定义域是____________.2、设，则________________.3、广义积分的敛散性为_____________.4、____________
.5、若
.6、微分方程的通解是
____.7、级数的敛散性为
.8、已知边际收益R/(x)=3x2+1000,R(0)=0,则总收益函数R(x)=____________.9、交换的积分次序=
.10、微分方程的阶数为
_____阶.二、单选题（每题3分，共15分）
1、下列级数收敛的是（）
A，B，C，D，2、，微分方程的通解为（）
A，B，C，D，3、设D为：，二重积分=（）
A,B,C,D，04、若
A,B,C,D,5、=（）
A,0
B,1
C,2
D,三、计算下列各题（本题共4小题，每小题8分，共32分）
1．已知
2.求，其中D是由，x=1和x轴围成的区域。
3.已知z=f(x,y)由方程确定，求
4.判定级数的敛散性.四、应用题（本题共2小题，每小题9分，共18分）：
1.求由
和x轴围成的图形的面积及该图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。
2.已知x表示劳动力，y表示资本，某生产商的生产函数为，劳动力的单位成本为200元，每单位资本的成本为400元，总预算为100000元，问生产商应如何确定x和y，使产量达到最大？。
五、证明题（5分）
一、填空题（每小题3分，共30分）
1,2，3，发散
4，0
5，6，y=cx
7，收敛
8，R(x)=x3+1000x
9，10，2
二、单选题（每小题3分，共15分）
1，B
2，B
3，C
4，C
5，D
三、计算题（每小题8分，共32分）
1、解：
令2、3、整理方程得：
4、先用比值判别法判别的敛散性，（2分）
收敛，所以绝对收敛。(交错法不行就用比较法)
（8分）
四、应用题（每小题9分，共18分）
1、解：
2、解：约束条件为200x+400y-100000=0
（2分）
构造拉格朗日函数，（4分）,求一阶偏导数，（6分）
得唯一解为：，（8分）
根据实际意义，唯一的驻点就是最大值点，该厂获得最大产量时的x为40，y为230.（9分）
五、证明题（5分）
证明：设对等式两边积分，得：
（2分）
（4分）
解得：
题设结论得证。
（5分）
一、填空题（每题2分，共20分）
1、函数的定义域是_______
2、__________
3、_______
4、若___________
5、设可微，则
6.已知满足方程则
_______
7、交换的积分次序=__________________
8、级数__________
9、若级数的收敛，则k的取值范围是
10、微分方程的通解是
____
二、单选题（每题2分，共10分）
1、若广义积分，则k=（）
A，B，C，D，2、若满足方程，则
（）
A，0
B，1
C，D，3、设D为：，二重积分=____________
A,B,C,D，4、下列级数发散的是（）
A,B，C
D5、微分方程的阶数为
（）
A,1
B，2
C
D
三、计算下列各题（本题共4小题，每小题8分，共48分）
1．计算
2.已知，求
3.计算二重积分，其中D由，及所围成。
4.求一阶线性微分方程的通解.5．
判别级数的收敛性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？
6．计算定积分。
四、应用题（本题共2小题，每小题9分，共18分）：
1.求由曲线与所围成的图形的面积及该图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。
2.某厂生产两种产品，产量分别为x和y，总成本函数，需求函数分别为（p1，p2分别为两种产品的价格），产量受的限制，求该厂获得最大利润时的产量x和y。
五、证明题（4分）
证明：
一、填空题（每题2分，共20分）
1、，2、，3、0，4、，5、0，6.7、，8、29、，10、（c为任意常数）
二、单选题（每题2分，共10分）
1、D2、D，3、C,4、B，5、C
三、计算下列各题（本题共4小题，每小题8分，共48分）
1．计算
解：
--------
4分
-----------8分
2.已知，求
解：两边去自然对数，两边关于x求偏导数，---------
4分
整理得
所以
------------
8分
3.计算二重积分，其中D由，及所围成。
解：画图（2分），Y-型，-----------
分
-------------
8分
4.求一阶线性微分方程的通解.解：方法1：
直接算，，方法2：原方程可以化为，直接代入公式，------------
分
（c为任意常数）
--------------
8分
5．这是一个交错级数，一般项为。
先判断是否收敛，是一个P-级数，且P=，发散。
----------------2’
----------------------------------4’
----------------------------------6’
根据莱布尼茨定理，级数收敛，而且是条件收敛。
-----------------------------8’
6．积分区间关于原点对称，又为偶函数，则
=2
----------------------------------2’
=
--------------------------------4’
=
--------------------------------6’
==
--------------------------------8’
四、应用题（本题共2小题，每小题9分，共18分）：
1.求由曲线与所围成的图形的面积及该图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。
解：画图（2分）
-----------------
5分
=
----------------
9分
2.某厂生产两种产品，产量分别为x和y，总成本函数，需求函数分别为（p1，p2分别为两种产品的价格），产量受的限制，求该厂获得最大利润时的产量x和y。
解：由题意知，收入函数为
利润函数
构造拉格朗日函数，-------------
5分，解得
----------------
9分
五、证明题（4分）
利用级数的敛散性，证明：
证明：先证明级数收敛，用比值判别法，所以级数收敛
由级数收敛的必要条件知道，即
一、填空题（每小题3分，共15分）
1．设,则=
.2．
当
时,收敛.3．
交换积分次序
.4．
已知级数收敛,则=
.5．
若，其中具有二阶偏导数，则=
.二、单选题（每小题3分，共15分）
1．（）.(A)
;
(B)
;
(C)
;
(D).2.函数在上可积的必要条件是在上（）
（A）连续
;
（B）有界;
（C）
无间断点;
(D)有原函数.3．下列反常积分收敛的是（）
(A);
(B)
;
(C)
;
(D)
.4．下列级数发散的是（）.(A)
;
(B)
;(C)
;(D)
.5．
微分方程的通解是（）
(A)
;
(B)
;
(C)
;
(D).三、计算题I（每题6分，共24分）
1.求.2.设,求.3.求，其中D由围成.4.判别级数的敛散性.四、计算题II（每题8分，共24分）
5.求.6.设由方程确定,其中可微,求.7.求微分方程的特解.五、应用题（每小题8分，共16分）
1.求由与所围成的平面图形的面积,并求此图形绕轴旋转一周所成旋转体的体积.2．设某工厂生产甲和乙两种产品,产量分别为x和y(千件),利润函数为(万元)
已知生产每千件甲或乙产品均需要消耗某原料2吨,现有该原料12吨,问两种产品各生产多少时,总
利润最大?最大利润是多少?
六、证明题（6分）
证明：若收敛，则发散.一、1.;
2.;
3.;
4.;
5..二、BBACD
三、1.解:原式=
(3分)
.(6分)
2.解:
(2分)
(4分)
(6分)
3.解：原式=
（2分）
（4分）
.（6分）
4.解:记,取
(4分)
又
收敛
故原级数收敛.(6分)
四、5．解：令，即，则
当时，（2分）
故原式
（4分）
（6分）
.（8分）
6．解：记
（4分）
（8分）
7．解：原方程可化为------一阶线性微分方程
此时，（2分）
故原方程的通解为
（4分）
（6分）
由,得
从而，所求原方程的特解为
.（8分）
五、1.解：1>
故所求图形的面积为
（4分）
2>所求旋转体的体积为
（5分）
.（8分）
2.解:显然,有条件成立,作辅助函数
(3分)
令
解之得唯一驻点
(6分)
故当生产甲产品3.8千件,乙产品2.2千件时,利润最大,且最大利润为
(万元).(8分)
六、证明：证明：由于
（3分），又因为
收敛，故收敛，从而，绝对收敛.（6分）
1．函数的定义域是
.2．
.3．
若___________.4．
设有连续的二阶偏导数，则
.5．
=
.6．
广义积分收敛，则
.7．
交换积分次序=
.8．
设D为所围区域，则
.9．
=
.10.方程是
阶微分方程
.三、单选题（每小题3分，共15分）
1．广义积分收敛于（）.A.0
;
B.;
C.;
D..2.设积分区域D是（）.A.;
B.;
C.;
D..3．下列级数中条件收敛的是（）.A.;
B.;
C.;
D..4．设，其中可微，则（）
A.;
B.C.D.5．微分方程的通解是（）。
A.;
B.;
C.;
D..三、计算题（每题8分，共32分）
1.求.2.设D由曲线围成,求
3.已知，求.4.判别级数的敛散性.四、应用题（每小题9分，共18分）
1.设D由与所围成，求：（1）平面图形的面积；（2）此图形绕轴旋转一周所成旋转体的体积。
2.某厂生产两种产品，当产量分别为时，成本函数,需求函数分别为,分别为两种产品的价格，产品受的限制，求工厂获得最大利润时的产量和价格。
五、证明题（5分）
设，其中F可微。证明：
一.1.;
2.0
;
3.;
4.；5.0
;
6.;
7.;
8.2(2ln2-1);
9.1；
10.2.二.C
A
D
C
B
三.1.解:原式=
(3分)
(6分)
(8分)
2．解:画积分区域草图，联立方程求交点得：，（2分）
原式=.(4分)
（5分）
（8分）
3.解:
令，则
(3分)
(5分)
(8分)
4.解:用比值判别法
(2分)
(4分)
(6分)
原级数收敛.(8分)
四.1.解：(1)，（2分）
故所求图形的面积为
（5分）
(2)所求旋转体的体积为
.（9分）
2.解:由需求函数x,y得：，利润函数
=
=
(2分)
作辅助函数
=
(4分)
令
解之得唯一驻点
(6分)
故当生产产量分别为及时工厂获得的利润最大,此时两种产品的价格分别为
(9分)
五．证明：
（3分），.（5分）
故等式成立。
一、填空题（每小题3分，共30分）
1.函数的定义域是
.2.设域是，则
.3.交换积分次序
.4.设资本投入为，劳动投入为时，某产品的产出量为，且为常数，则对资本的偏弹性，对资本的偏弹性
.5.设
.6.若则
.7.当满足条件
时收敛。
8.微分方程的通解为
.9.设，其中可微，则
.10..二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1.=（）.A.;
B.;
C.;
D..2.已知，则（）.A.B.C.D..3.若，则（）.A.B.C.D.4.下列级数发散的是（）
A.;
B.;
C
.;
D
..5.微分方程的阶数为（）.A
.3
;
B.4
;
C
.2
;
D.6.三．
计算题（每小题8分，共32分）
1.设,求.2.若D是由所围成的区域,求之值。
3.判别级数的收敛性。
4.求方程的通解。
四．应用题（每小题9分，共18分）
1.设平面区域D由抛物线与直线
围成,求:（1）D的面积；（2）D绕轴旋转一周所得立体的体积。
2.设某种产品的产量是劳动力和原料的函数，若劳动力单价为100元，原料单价为200元，则在投入3万元资金用于生产的情况下，如何安排劳动力和原料，可使产量最多。
五．证明题（5分）：
证明：.一.1.;
2.;
3.;
4.;
5.；6.5
;
7.;
8.y=;
9..10.tanx
二.D
B
A
D
A
三.1.解:
令，(2分)
则
(4分)
(8分)
.2.解:
联立
解得两个交点坐标
（2分）
（4分）
（8分）
3.解:
（4分）
(4分)
又是几何级数，公比收敛
故由比较判别法知原级数收敛.(8分)
(或者用比较判别法的极限形式)
4.解：，代入原方程得
（2分）
分离变量
（4分）
两边积分
将
回代得方程的解
（8分）
四．1.解：（1），故所求图形的面积为
（4分）
（2），所求旋转体的体积为
（9分）
2.解:显然,有条件成立,作辅助函数
(3分)
令
（5分）
解之得唯一驻点
(7分)
由问题实际意义知最大产量存在，故当劳动力为单位，原料为单位时产量最大。
(9分)
五．证明：交换积分次序：
等式左边==右边.故等式成立。
一、填空题（每题3分，共30分）
1.函数的定义域是
.2.=
.3.=_
___
__
.4.=
.5.=
.6.= ．
7.设，其中
在D上连续，则
=
.8.方程是
阶微分方程
.9.设,则
=
.10.交换积分次序=
.二、单选题（每题3分，共15分）
1.=（）．
A.． B.2． C.0． D.1．
2.设，其中可微，则
=（）.A.B.C.D.1
3.设，则=（）.A.B.C.D.4.设D由圆周，及直线所围的第一象限部分，二重积分的值=（）．
A．． B．． C．.D．．
5.下列级数发散的是（）
.A．
B.C.D.三、计算题（每题8分，共32分）
.求。
2.设由方程确定，求。
3.求。
4.求微分方程的通解。
四、应用题（每题9分，共18分）
1.设平面区域D由曲线围成，求D的面积及D绕x轴旋转所成的旋转体的体积。
2．设某工厂生产甲和乙两种产品,产量分别为x和y(千件),利润函数为(万元)，已知生产每千件甲或乙产品均需要消耗某原料2吨,现有原料10吨刚好用完,问两种产品各生产多少时,总利润最大?最大利润是多少?
五、证明题（5分）
证明
一、填空题（每小题3分，共30分）
1.;
2.;
3.0;
4.1；
5.1
;
6.2
;
7.2;
8.二;
9.；
10..二、单选题（每小题3分，共15分）
1.A
.B
3.A
4.B
5.C
三、计算题（每小题8分，共32分）
.解：
令
则
原式
（5分）
.（8分）
2.解设
则
(5分)
(8分)
3.解：
（4分）
（6分）
（8分）
4.解：
代入原方程得
分离变量
（4分）
两边积分
（6分）
得
故原方程的通解为
（C
为任意常数)
（8分）
四、应用题（每小题9分，共18分）
1.先求的交点（0，0），（1，1）
(4分)
(9分)
2.解:显然,有条件成立,作辅助函数
(3分)
令
解之得唯一驻点
(7分)
故当生产甲产品3千件,乙产品2千件时,利润最大,且最大利润为
(9分)
五、证明题（5分）
证明：考察级数，由于
（3分）
所以此级数收敛，故
（5分）
一、填空题（每题3分，共30分）
1.函数的定义域是
.2.=
.3.设，则= ．
4.=_
___
__
.5.=
.6.=
.7.设，其中
在D上连续，则
=
.8.方程是
阶微分方程
.9.设,则
=
.10.交换积分次序=
.二、单选题（每题3分，共15分）
1.在上的平均值是（）.A.B.C.D.2.=（）．
A.． B.． C.． D.．
3.设D由圆周，及直线所围的第一象限部分，二重积分的值=（）．
A．． B．． C．.D．．
4.设，其中可微，则
=（）.A.B.C.D.5.下列级数发散的是（）
.A．
B.C.D.三、计算题（每题8分，共32分）
.求。
2.设由方程确定，求。
3.求。
4.求微分方程的通解。
四、应用题（每题9分，共18分）
1．设某工厂生产甲和乙两种产品,产量分别为x和y(千件),利润函数为(万元)，已知生产每千件甲或乙产品均需要消耗某原料1吨,现有原料5吨刚好用完,问两种产品各生产多少时,总利润最大?最大利润是多少?
2.设平面区域D由曲线围成，求D的面积及D绕x轴旋转所成的旋转体的体积。
五、证明题（5分）
证明
一，填空题（每小题3分，共30分）
1.;
2.;
3.0;
4.0；
5.3
;
6.6
;
7.7;
8.二;
9.；
10..二，单选题（每小题3分，共15分）
1.B
.A
3.B
4.A
5.D
三，计算题（每小题8分，共32分）
.解：
（4分）
（8分）
2.解设
则
（3分）
(6分)
（8分）
3.解：
（4分）
（6分）
（8分）
5.解：
分离变量
（3分）
两边积分
（5分）
得
故原方程的通解为
（C
为任意常数)
（8分）
四，应用题（每小题9分，共18分）
1.解:显然,有条件成立,作辅助函数
(3分)
令
解之得唯一驻点
(7分)
故当生产甲产品3千件,乙产品2千件时,利润最大,且最大利润为
(9分)
2.(4分)
(9分)
五，证明题（5分）
证明：考察级数，由于
（3分）
所以此级数收敛，故
（5分）
四、填空题（每题3分，共30分）
1.函数的定义域是
.2.=
.3.=_
___
__
.4.=
.5.=
.6.广义积分收敛，则
.7.设，其中
在D上连续，则
=
.8.方程是
阶微分方程
.9.设,则
=
.10.交换积分次序=
.五、单选题（每题3分，共15分）
1.=（）．
A.． B.2． C.0． D.1．
2.函数，由方程所确定，则
=（）.A.2
B.-1
C.1
D.-2
3.设，则=（）.A.B.C.D.4.可偏导的函数取得极值点必为（）．
A．零点． B．驻点． C．不可导点.D．驻点或不可导点．
5.下列级数发散的是（）
.A．
B.C.D.六、计算题（每题8分，共32分）
.求。
2.设由方程确定，求。
3.计算D由和围成的区域
4.求微分方程的通解。
四、应用题（每题9分，共18分）
1.设平面区域D由曲线围成，求D的面积及D绕x轴
旋转所成的旋转体的体积。
2．销售收入Q与用两种广告手段的费用x和y之间的函数关系为，净利润是销售收入的减去广告成本，而广告预算是25，试确定如何分配两种手段的广告成本，以使利润最大?最大利润是多少?
五、证明题（5分）
证明
一、填空题（每小题3分，共30分）
1.;
2.;
3.0;
4.1；
5.2
;
6.>3
;
7.1;
8.二;
9.；
10..二、单选题（每小题3分，共15分）
1.A
.B
3.A
4.B
5.C
三、计算题（每小题8分，共32分）
.解：
令
则
原式
（5分）
.（8分）
2.解设
则
(5分)
(8分)
3.解：原式
（4分）
（6分）
（8分）
5.解：由于，由公式得其通解
（4分）
=
=
（6分）
故原方程的通解为
（C
为任意常数)
（8分）
四、应用题（每小题9分，共18分）
1.先求的交点（0，0），（1，1）
(4分)
(9分)
2.解:显然,有条件成立,所求利润函数
3.作拉格朗日函数
(3分)
令
解之得唯一驻点
(7分)
故当两种广告费用分别为15,10时,利润最大,且最大利润为
(9分)
五、证明题（5分）
证明：令，则
于是=
（3分）
所以原式成立
（5分）