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选修2-2
1.3.2
函数的极值与导数
一、选择题
1．已知函数f(x)在点x0处连续，下列命题中，正确的是()
A．导数为零的点一定是极值点
B．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值
C．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值
D．如果在点x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值
[答案] C
[解析] 导数为0的点不一定是极值点，例如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)的极值点，故A错；由极值的定义可知C正确，故应选C.2．函数y＝1＋3x－x3有()
A．极小值－2，极大值2
B．极小值－2，极大值3
C．极小值－1，极大值1
D．极小值－1，极大值3
[答案] D
[解析] y′＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)
令y′＝0，解得x1＝－1，x2＝1
当x<－1时，y′<0，函数y＝1＋3x－x3是减函数，当－1
A．必有f′(x0)＝0
B．f′(x0)不存在C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在D．f′(x0)存在但可能不为0
[答案] C
[解析] 如：y＝|x|，在x＝0时取得极小值，但f′(0)不存在．
4．对于可导函数，有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] 只有这一点导数值为0，且两侧导数值异号才是充要条件．
5．对于函数f(x)＝x3－3x2，给出命题：
①f(x)是增函数，无极值；
②f(x)是减函数，无极值；
③f(x)的递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，递减区间为(0,2)；
④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．
其中正确的命题有()
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
[答案] B
[解析] f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)>0，得x>2或x<0，令f′(x)<0，得0 6．函数f(x)＝x＋的极值情况是() A．当x＝1时，极小值为2，但无极大值 B．当x＝－1时，极大值为－2，但无极小值 C．当x＝－1时，极小值为－2；当x＝1时，极大值为2 D．当x＝－1时，极大值为－2；当x＝1时，极小值为2 [答案] D [解析] f′(x)＝1－，令f′(x)＝0，得x＝±1，函数f(x)在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,0)和(0,1)上单调递减，∴当x＝－1时，取极大值－2，当x＝1时，取极小值2.7．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点() A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 [答案] A [解析] 由f′(x)的图象可知，函数f(x)在区间(a，b)内，先增，再减，再增，最后再减，故函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极小值点． 8．已知函数y＝x－ln(1＋x2)，则函数y的极值情况是() A．有极小值 B．有极大值 C．既有极大值又有极小值 D．无极值 [答案] D [解析] ∵y′＝1－(x2＋1)′ ＝1－＝ 令y′＝0得x＝1，当x>1时，y′>0，当x<1时，y′>0，∴函数无极值，故应选D.9．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则函数f(x)的极值是() A．极大值为，极小值为0 B．极大值为0，极小值为 C．极大值为0，极小值为－ D．极大值为－，极小值为0 [答案] A [解析] 由题意得，f(1)＝0，∴p＋q＝1① f′(1)＝0，∴2p＋q＝3② 由①②得p＝2，q＝－1.∴f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1 ＝(3x－1)(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝或x＝1，极大值f＝，极小值f(1)＝0.10．下列函数中，x＝0是极值点的是() A．y＝－x3 B．y＝cos2x C．y＝tanx－x D．y＝ [答案] B [解析] y＝cos2x＝，y′＝－sin2x，x＝0是y′＝0的根且在x＝0附近，y′左正右负，∴x＝0是函数的极大值点． 二、填空题 11．函数y＝的极大值为______，极小值为______． [答案] 1 －1 [解析] y′＝，令y′>0得－1 [答案] a＋4 a－4 [解析] y′＝3x2－6＝3(x＋)(x－)，令y′>0，得x>或x<－，令y′<0，得－ －9 [解析] y′＝3x2＋2ax＋b，方程y′＝0有根－1及3，由韦达定理应有 14．已知函数f(x)＝x3－3x的图象与直线y＝a有相异三个公共点，则a的取值范围是________． [答案](－2,2) [解析] 令f′(x)＝3x2－3＝0得x＝±1，可得极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，y＝f(x)的大致图象如图 观察图象得－2 三、解答题 15．已知函数f(x)＝x3－3x2－9x＋11.(1)写出函数f(x)的递减区间； (2)讨论函数f(x)的极大值或极小值，如有试写出极值． [解析] f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.x变化时，f′(x)的符号变化情况及f(x)的增减性如下表所示： x (－∞，－1) －1 (－1,3) (3，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 增 极大值 f(－1) 减 极小值 f(3) 增 (1)由表可得函数的递减区间为(－1,3)； (2)由表可得，当x＝－1时，函数有极大值为f(－1)＝16；当x＝3时，函数有极小值为f(3)＝－16.16．设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，在x＝1和x＝－1处有极值，且f(1)＝－1，求a、b、c的值，并求出相应的极值． [解析] f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.∵x＝±1是函数的极值点，∴－1、1是方程f′(x)＝0的根，即有 又f(1)＝－1，则有a＋b＋c＝－1，此时函数的表达式为f(x)＝x3－x.∴f′(x)＝x2－.令f′(x)＝0，得x＝±1.当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,1) (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 极大 值1 极小 值－1 由上表可以看出，当x＝－1时，函数有极大值1；当x＝1时，函数有极小值－1.17．已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1处取得极值． (1)讨论f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值还是极小值； (2)过点A(0,16)作曲线y＝f(x)的切线，求此切线方程． [解析](1)f′(x)＝3ax2＋2bx－3，依题意，f′(1)＝f′(－1)＝0，即 解得a＝1，b＝0.∴f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)． 令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.若x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，则f′(x)＞0，故 f(x)在(－∞，－1)上是增函数，f(x)在(1，＋∞)上是增函数． 若x∈(－1,1)，则f′(x)＜0，故 f(x)在(－1,1)上是减函数． ∴f(－1)＝2是极大值；f(1)＝－2是极小值． (2)曲线方程为y＝x3－3x.点A(0,16)不在曲线上． 设切点为M(x0，y0)，则点M的坐标满足y0＝x－3x0.∵f′(x0)＝3(x－1)，故切线的方程为 y－y0＝3(x－1)(x－x0)． 注意到点A(0,16)在切线上，有 16－(x－3x0)＝3(x－1)(0－x0)． 化简得x＝－8，解得x0＝－2.∴切点为M(－2，－2)，切线方程为9x－y＋16＝0.18．(2024·北京文，18)设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(a>0)，且方程f′(x)－9x＝0的两个根分别为1,4.(1)当a＝3且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式； (2)若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围． [解析] 本题考查了函数与导函数的综合应用． 由f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d得f′(x)＝ax2＋2bx＋c ∵f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两根为1,4.(1)当a＝3时，由(*)式得，解得b＝－3，c＝12.又∵曲线y＝f(x)过原点，∴d＝0.故f(x)＝x3－3x2＋12x.(2)由于a>0，所以“f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f ′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立” 由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a.又∵Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9) 解得a∈[1,9]，即a的取值范围[1,9]．