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1978年普通高等学校招生全国统一考试
数学
（理科考生五，六两题选做一题文科考生五，六两题选做一题，不要求做第七题）
一．（下列各题每题4分，五个题共20分）
1．分解因式：x2-4xy+4y2-4z2.解：原式=（x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z)
2.已知正方形的边长为，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积
解：设底面半径为r，则底面周长2πr=
则
3．求函数的定义域
解：
∵lg(2+x)≥0,∴2+x≥1.故x≥-1为其定义域
4．不查表求cos800cos350+cos100cos550的值
解：原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450=
5.化简：
二
.（本题满分14分）
已知方程kx2+y2=4，其中k为实数对于不同范围的k值，分别指出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图
解：1）k>0时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①k>1时,长轴在y轴上，半长轴=2，半短轴=;
②k=1时,为半径r=2的圆;
③k<1时,长轴在x轴上，半长轴=，半短轴=2
Y
Y
Y
k=2
A
k=1
(0,2)
k=1/4
O
A
X
O
B
X
O
X
如图：
2)k=0时，方程为y2=4图形是两条平行于x轴的直线
如图
3）k<0时，方程为
Y
Y
y=2
k=-4
A
O
O
X
B
X
y=-2
这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在y轴上如图：
三．（本题满分14分）
（如图）AB是半圆的直径，C是半圆上一点，直线MN切半圆于C点，AM⊥MN于M点，BN⊥MN于N点，CD⊥AB于D点，求证：1)CD=CM=CN.2)CD2=AM·BN
M
C
N
A
B
D
1)证：连CA，CB，则∠ACB=900∠ACM=∠ABC
∠ACD=∠ABC
∴∠ACM=∠ACD∴△AMC≌△ADC
∴CM=CD同理CN=CD∴CD=CM=CN
2）∵CD⊥AB，∠ACD=900
∴
CD2=AD·DB
由1）知AM=AD，BN=BD
∴CD2=AM·BN
四．（本题满分12分）
五．（本题满分20分）
已知△ABC的三内角的大小成等差数列，tgAtgC=求角A，B，C的大小又已知顶点C的对边c上的高等于求三角形各边,b,c的长（提示：必要时可验证）
六．（本题满分20分）
七．（本题满分20分，文科考生不要求作此题）
已知函数y=x2+(2m+1)x+m2-1(m为实数）
1）m是什么数值时，y的极值是0？
2）求证：不论m是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线L1上画出m=-1、0、1时抛物线的草图，来检验这个结论
3）平行于L1的直线中，哪些与抛物线相交，哪些不相交？求证：任一条平行于L1而与抛物线相交的直线，被各抛物线截出的线段都相等
解：用配方法得：
3.设L：x-y=为任一条平行于L1的直线
与抛物线y=x2+(2m+1)x+m2-1方程联立求解，消去y，得
x2+2mx+m2-1+=0∴（x+m)2=1-
因而当1-≥0即≤1时，直线L与抛物线相交，而＞1时，直线L与抛物线不相交
而这与m无关
因此直线L被各抛物线截出的线段都相等
一九七八年副题
1．（1）分解因式：x2-2xy+y2+2x-2y-3
解：原式=(x-y-1)(x-y+3)
(2)求
解：原式=3/4
（4）已知直圆锥体的底面半径等于1cm，母线的长等于2cm，求它的体积
解：
解：原式=30
2．已知两数x1,x2满足下列条件：
1）它们的和是等差数列1，3，…的第20项;
2）它们的积是等比数列2，-6，…的前4项和
求根为的方程
略解：x1
+x2=39，x1x2=-40故：1/x1+1/x2=-39/40
1/x1·1/x2=-1/40
所求方程为：40x2+39x-1=0.3.已知：△ABC的外接圆的切线AD交BC的延长线于D点，求证：
A
B
E
C
D
证：因为AD是△ABC的外接圆的切线，所以
∠B=∠1∴△ABD∽△CAD
作AE⊥BD于点E，则
A
M
N
α
B
E
F
D
4．（如图）CD是BC的延长线，AB=BC=CA=CD=，DM与AB，AC分别交于M点和N点，且∠BDM=α
求证：
证：作ME⊥DC于E，由△ABC是等边三角形，在直角△MBE中，类似地，过N作NF⊥BC于F，在直角△NFC中，可证：
5．设有f(x)=4x4-4px3+4qx2+2p(m+1)x+(m+1)2.(p≠0）求证：
1）如果f(x)的系数满足p2-4q-4(m+1)=0,那么f(x)恰好是一个二次三项式的平方
2）如果f(x)与F(x)=(2x2+x+b)2表示同一个多项式，那么
p2-4q-4(m+1)=0
6．已知：sinx+bcosx
=0.………………………………①
Asin2x+Bcos2x=C.………………………………②
其中,b不同时为0
求证：2bA+(b2-2)B+(2+b2)C=0
则①可写成cosysinx-sinycosx=0,∴sin(x-y)=0∴x-y=kπ(k为整数)，∴x=y+kπ
又sin2x=sin2(y+kπ)=sin2y=2sinycosy=
cos2x=cos2y=cos2y-sin2y=
代入②，得
7．已知L为过点P而倾斜角为300的直线，圆C为中心在坐标原点而半径等于1的圆，Q表示顶点在原点而焦点在的抛物线设A为L和C在第三象限的交点，B为C和Q在第四象限的交点
1）写出直线L、圆C和抛物线Q的方程，并作草图
2）写出线段PA、圆弧AB和抛物线上OB一段的函数表达式
3）设P＇、B＇依次为从P、B到x轴的垂足求由圆弧AB和直线段BB＇、B＇P＇、P＇P、PA所包含的面积
Y
O
X
B
Q
L
P
A
C
解：1）直线L、圆C和抛物线Q的方程为
2)由
Y
P＇
B＇
O
X
B
A
C
Q
L
P