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矩阵论试题
一、(10分)设函数矩阵
求:和()'。
解:==
()'=
二、(15分)在中线性变换将基,变为基,(1)求在基下的矩阵表示A;
(2)求向量及在基下的坐标;
(3)求向量在基下的坐标。
解:(1)不难求得:
因此在下矩阵表示为
(2)设,即
解之得:
所以在下坐标为。
在下坐标可得
(3)在基下坐标为
在基下坐标为
三、(20分)设,求。
解:容易算得
由于是2次多项式,且,故是1次多项式,设
由于,且,故
于是解得:
从而:
四、(15分)求矩阵的奇异值分解。
解:的特征值是对应的特征向量依次为,于是可得,计算:
构造,则
则A的奇异值分解为:
五、(15分)求矩阵的满秩分解:
解:
可求得:,于是有
或
六、(10分)求矩阵的Jordan标准形。
解:求的初等因子组,由于
因此,所求的初等因子组为,于是有
A~J=
七、(10分)设V是数域F上的线性空间,是V的子空间,则也是V的子空间。
证明:由,知,即说非空,对于任意,则。因为是子空间,所以,故。
对任意,有,且,因此知,故知为V的子空间。
八、(5分)设,求证。
证明:矩阵A的特征多项式为
令
由Hamilton-Cayley定理知
因此