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矩阵论考试试题(含答案)

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矩阵论试题

一、(10分)设函数矩阵

求:和()'。

解:==

()'=

二、(15分)在中线性变换将基,变为基,(1)求在基下的矩阵表示A;

(2)求向量及在基下的坐标;

(3)求向量在基下的坐标。

解:(1)不难求得:

因此在下矩阵表示为

(2)设,即

解之得:

所以在下坐标为。

在下坐标可得

(3)在基下坐标为

在基下坐标为

三、(20分)设,求。

解:容易算得

由于是2次多项式,且,故是1次多项式,设

由于,且,故

于是解得:

从而:

四、(15分)求矩阵的奇异值分解。

解:的特征值是对应的特征向量依次为,于是可得,计算:

构造,则

则A的奇异值分解为:

五、(15分)求矩阵的满秩分解:

解:

可求得:,于是有

六、(10分)求矩阵的Jordan标准形。

解:求的初等因子组,由于

因此,所求的初等因子组为,于是有

A~J=

七、(10分)设V是数域F上的线性空间,是V的子空间,则也是V的子空间。

证明:由,知,即说非空,对于任意,则。因为是子空间,所以,故。

对任意,有,且,因此知,故知为V的子空间。

八、(5分)设,求证。

证明:矩阵A的特征多项式为

由Hamilton-Cayley定理知

因此

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